Polynomier Af Større Grad End 2

Definition
En funktion P med forskriften:

kaldes et polynomium af n’te grad.

Disposition
Nedenstående omhandler polynomiers grad, multiplikation af polynomier, polynomiers rødder, faktoropløsning af polynomier, polynomiers division og identitetssætningen for polynomier.

Polynomiers grad

Graden af et polynomium er angivet ved den højest forekomne eksponent til x i polynomiet.
Et polynomium af 0’te grad er funktion med en konstant funktionsværdi, der er forskellig fra 0.
Hvis et polynomium har en konstant funktionsværdi lig 0, kaldes dette nulpolynomiet.

Eksempel 1

Der er i eksempel 1 tale om et niendegrads polynomium, da den højest forekomne eksponent til x er 9, hvori det sidste led er nultegradspolynomiet med en konstant funktionsværdi lig 7.

Multiplikation af polynomier

Når to polynomier multipliceres vil produktet være et polynomium med en grad lig graden af det første polynomium plus graden af det andet polynomium.

Eksempel 2

I eksempel 2 multipliceres et andengradspolynomium med et førstegradspolynomium, hvilket giver et tredjegradspolynomium som resultat.

Dette kan også gøres vha. TI-89's funktion 'expand'.
Denne kan findes ved at gå ind ”home”, herefter trykker man f2 og vælger tredje mulighed ”expand”, herefter tastes polynomierne ind og der sættes en slutparentes. TI-89 vil nu gange polynomierne.

Division

Sætning:
Et polynomium kan skrives som:
, hvor α roden, Q(x) er kvotientpolynomiet til P(x) og r er resten.
Idet man altid kan dividere et polynomium af første grad eller højere, vha. den senere beskrevne algoritme ”polynomiers division”, behøves denne sætning ikke bevist.
Idet graden af x skal være den samme på begge sider af lighedstegnet, må Q(x) være af graden én grad lavere end P(x). Hvis r er lig 0, siges det at (x-α) er divisor i P(x).
Dvs. at n’tegradspolynomiet P(x) delt med (x-α) er lig med Q(x) plus en rest, hvor Q(x) er et polynomium af graden (n-1).

Eksempel 3

Divideres dette polynomium med x-1 fås:


I dette eksempel er (x-α) lig med (x-1) og Q(x) er lig med

Da divisionen går op, er r lig med 0, og (-1) er dermed rod af P(x).

Polynomiers rødder

Et polynomiums rødder er de(n) værdi(er) af x, for hvilke det gælder at P(x) er lig 0, også kaldet polynomiets nulpunkter.

Sætning
’Et polynomium har højst samme antal rødder som dets grad.’
Eller
’Et polynomium af n’te grad har højst n rødder.’

Bevis
Vi lader et polynomium P(x) have graden 5. Hvis P(x) samtidig har f.eks. 6 rødder, vil det kunne skrives som et produkt af 6 parenteser af formen (x-α) Hvis parenteserne derefter ganges ud, vil det nødvendigvis give et led indeholdende en faktor x^6, som ville gøre P(x) til et sjettegradspolynomium - dette er ikke muligt, da vi allerede har defineret P(x) som værende et femtegradspolynomium. – q.e.d.

På nedenstående figur ses en graf for en 4. gradsligning (TI-89 ScreenCapture). På grafen kan polynomiets rødder aflæses som x-værdierne, i punkterne hvor grafen skærer x-aksen. Dette kan gøres vha. TI-89’s funktion ’zero’, som findes under fanebladet ”F5 Math”, under vinduet ”Graph”. Funktionen forlanger et ”lower bound”, som er den laveste x-værdi i det interval på grafen, roden skal findes i. Herefter forlanges ”upper bound”, som er den højeste x-værdi i intervallet.

(Indsæt figur her senere (David))

Bemærk at dette udsnit af den graf der beskriver 4. grads polynomiet, ikke er stort nok til at vise bunden af polynomiet, Derfor er forbindelsen mellem de to synlige dele af polynomiet ikke blevet aftegnet på grafen. Afbillede man dog grafen længere nede, ville man på et tidspunkt kunne se den dal, der her er blevet skåret fra.

Faktoropløsning

For at kunne finde rødderne i et n’te grads polynomium manuelt, er det nødvendigt at opløse polynomiet i faktorer, således at formen opnås. α vil da være rod i P(x), idet . Faktoropløsning kan også bruges til brøker med polynomier i nævner eller tæller.

Eksempel 4

Det indses at der her er tale om et tredjegradspolynomium når parenteserne ganges sammen. Det er imidlertid en fordel at beholde polynomiet faktoropløst, idet rødderne kan aflæses fra henholdsvis førstegradspolynomiet og andengradspolynomiet.
Fortsættes med kvotientpolynomiet af graden 2 fra faktoropløsningen fås følgende:



dvs. 2 er rod i P(x).

Da diskriminanten er større end nul må der nødvendigvis være to rødder i andengradspolynomiet:

Dvs. at 1,37 og -4,37 og 2 er rødder i P(x).

Eksempel 5

Dette kan enten faktoropløses ved hjælp af TI-89 (hvilket kan anbefales for alle, der ikke er meget trænede faktoropløsning) eller i hånden. Ønskes TI-89 brugt, går man til ’home’, trykker f2 og vælger muligheden ’factor’. Herefter tastes polynomiet ind og en slutparentes sættes. TI-89 vil nu faktoropløse polynomiet, forudsat at det kan gøres med heltal. Kan polynomiet ikke faktoropløses med heltal, kan rødderne kun findes ved den numeriske metode.
Polynomiet kan faktoropløses i hånden ved systematiske forsøg med nultegradsleddet1’s divisorer. I dette tilfælde er nulpolynomiet 30. Nulpolynomiet har dermed divisorerne 30, 15, 6, 5, 3, 2, og 1.

Der prøves med 3:

Tredjegradspolynomiet kan igen faktoriseres. Her er nulpolynomiet 10, som har divisorerne 10, 5, 2 og 1.

Der prøves her med 2. dvs:

Rødderne kan nu aflæses i førstegradpolynomierne til -2 og -3.
Rødderne i andengradspolynomiet kan nu findes. I dette polynomium er diskriminanten dog negativ, hvilket bestemmer, at polynomiet ingen rødder har.
P(x) har altså rødderne -2 og -3.

For at kunne lave disse faktoriseringer er det naturligvis nødvendigt at være i stand til at dividere et polynomium med et andet. Dette beskrives i følgende afsnit.

Polynomiers division

Polynomiers division er en algoritme (mere om dette senere), der bruges, når en af rødderne α i et n’te-gradspolynomium P(x) kendes. Vha. denne algoritme udregnes hvorledes Q(x), der er kvotientpolynomium til P(x) og har graden n-1, skal opskrives:

Polynomiet divideres med (x - α):

Det er klart at r her må være af nulte grad, da der er divideret med et førstegradspolynomium og resten altid vil være af én grad lavere end divisoren.

Herefter ganges faktorerne ud (se ’Multiplikation af polynomier’):

Hvis dette skrives om til standardformen for polymonier, dvs. en vilkårlig mængde ens variable, opløftet i forskellige heltal, med tilhørende koefficienter fås følgende:

Ovenstående polynomium ligner umiddelbart P(x) meget. Betragtes koefficienten til xn, må denne nødvendigvis være lig an, da ovenstående polynomium er udledt af P(x). Dvs. .
Endvidere kan vi se, at koefficienten til xn-1 må være lig an-1. Dvs. .

Fortsat

Herudfra ses det, at det med denne metode er muligt at bestemme alle b'er og resten r, og derved kvotientpolynomiet Q(x) til P(x), hvis alle a'er i P(x) og en rod til P(x) er kendt.
Den her anvendte form for metode kaldes også en algoritme, der er en matematisk fremgangsmåde til at bestemme eller udregne visse værdier.

Eksempel 6
Vi har polynomiet . Én af polynomiets rødder er -1,
dvs. α er lig -1, og samtidig ses det, at polynomiet er af 4. grad, dvs. n er lig 4.
Disse oplysninger kan bruges på det faktoriserede standardpolynomium således:
.

Den før opskrevne algoritme bruges nu til at bestemme kvotientpolynomiet:

Alle værdier, der skal til for at lave kvotientpolynomiet, er nu beregnet:

Identitetssætningen for polynomier

De to n’tegradspolynomier P(x) og Q(x) har følgende funktionsforskrifter:

Sætning
’To polynomier P(x) og Q(x) er ens, hvis de har samme grad, og alle koefficienter til x er ens.’
Dvs.
for alle x

Bevis
Bevises vha. et indirekte bevis, hvor det omvendte, nemlig at sætningen ikke gælder, forsøges bevist. Dette gøres ved at antage, at der findes en koefficient til i P(x), der ikke har samme værdi som koefficienten til x^q i Q(x). Dvs. , hvilket gør at følgende polynomium kan opskrives:

Hvis det herefter antages at alle koefficienter til x i P(x) og Q(x) er lig hinanden fås følgende:

Og da P(x) er lig Q(x) fås:
hvilket ikke er sandt, da . Det er derfor ikke muligt at modbevise den før opstillede sætning, og den må derfor være sand. – q.e.d.